In de geschiedenis van het rekenonderwijs in Nederland speelt de rekenmeester Bartjens een belangrijke rol. Zijn werk De Cijfferinghe, een rekenboek dat in de 18e eeuw werd geschreven, biedt inzicht in de aanpak van wiskundige problemen die tegenwoordig als eerstegraadsvergelijkingen bekend staan. In tegenstelling tot moderne methoden, waar algebra vaak centraal staat, benadrukt Bartjens een puur rekenkundige aanpak. Zijn oplossingsstrategieën zijn daarom vooral gericht op het begrijpen van het probleem en het toepassen van rekenregels, zonder algebraïsche notatie. In dit artikel bespreken we hoe Bartjens eerstegraadsvergelijkingen oplost, met welke rekenstrategieën hij werkt, en wat voor leerlingen uit deze aanpak kan worden geleerd. Op basis van de beschikbare bronnen wordt duidelijk hoe Bartjens een didactisch verantwoord en oefenrijk rekenprogramma opbouwt, dat zowel logisch denkvermogen als rekenvaardigheid stimuleert.
Rekenkundige Oplossing in de Stijl van Bartjens
Bartjens benadrukt in zijn rekenboek de noodzaak om eerstegraadsvergelijkingen zonder algebraïsche notatie op te lossen. Zijn methode is georiënteerd op het begrijpen van het probleem en het toepassen van rekenregels in een logische volgorde. In vraagstuk 23 bijvoorbeeld wordt een man beschreven die een bepaalde hoeveelheid kasen koopt voor 135 guldens. De oplossing vereist het begrijpen van het verband tussen prijs per stuk en het totale aantal stukken. Bartjens gebruikt rekenkundige bewerkingen om dit probleem stap voor stap op te lossen, zonder het gebruik van variabelen of algebraïsche vergelijkingen.
Zo luidt de opgave: Een man koopt ettelijke evenveel weghende stukken kasen voor de som van 135 guldens. Hij vindt dat de 3 stukken kosten zoveel boven de 3 guldens als de 9 stukken onder 12 guldens. Vraag hoeveel stukken kasen hij kocht? Ant. 108.
Deze opgave vereist dat de leser het verband tussen de prijs per stuk en het totale aantal stukken begrijpt. Bartjens lost dit op via rekenkundige redenering, waarbij hij het verschil in prijs tussen de 3 stukken en de 9 stukken berekent en vervolgens het totale aantal stukken vaststelt. Zo illustreert hij hoe eerstegraadsvergelijkingen kunnen worden opgelost zonder algebraïsche notatie.
De Rol van de Regel van Drieën
Een centrale rekenregel in Bartjens' boek is de regel van drieën. Deze regel wordt vaak toegepast bij problemen waarin verhoudingen centraal staan, zoals het berekenen van prijzen, het afrekenen van schulden of het omzetten van munten en maten. De regel van drieën is een rekenstrategie die op logisch denken en verhoudingsrekening is gebaseerd. Het vereist dat de leerling de verhouding tussen drie bekende getallen begrijpt en deze toepast om het vierde getal te vinden.
Bijvoorbeeld in vraagstuk 45, waar Bartjens breuken en verhoudingen gebruikt, moet de leser rekenen met drie gebroken getallen: 2½ ellen tot 7¾ stuyvers. De opgave luidt: Hoeveel kosten 26⅛ ellen? Bartjens lost dit op door de breuken eerst om te zetten in gehele getallen en vervolgens de regel van drieën toe te passen. Dit illustreert hoe leerlingen in de 18e eeuw complexe rekenproblemen moesten kunnen oplossen door het begrijpen van verhoudingen en het toepassen van logische rekenstrategieën.
Rekenvaardigheid en Praktijkgerichte Oefeningen
Bartjens benadrukt het belang van rekenvaardigheid in een praktische context. Zijn rekenboek bevat talloze oefeningen die gericht zijn op het begrijpen van verhoudingen, het omrekenen van munten en het berekenen van winst of verlies. Deze oefeningen zijn niet alleen rekenkundig uitdagend, maar ook gericht op het ontwikkelen van probleemoplossend denken en realistische rekenvaardigheid.
In het hoofdstuk Practijke ofte korte Rekening laat Bartjens zien hoe complexe rekenwerk met munten, maten en gewichten kan worden vereenvoudigd. Hij benadrukt dat het slim splitsen van getallen en het toepassen van handige rekenstrategieën het rekenwerk aanzienlijk versnelt. Zo verdeelt hij bijvoorbeeld 19 stuivers in 10 + 5 + 4, omdat dit correspondeert met ½, ¼ en ⅕ gulden. Deze aanpak vereist veel rekenvaardigheid, omdat de leerling niet langer standaardregeltjes blindelings kan toepassen, maar moet nadenken over de opbouw van het probleem en de geschikte rekenstrategie.
Didactische Verbeteringen en Aanpassingen
Bartjens voerde in de loop der jaren aanpassingen aan in zijn rekenboek, die tegenwoordig als didactische verbeteringen zouden worden beschouwd. Deze aanpassingen zijn gericht op het verbeteren van de leerbaarheid en het verhelderen van de rekenstrategieën. In het tweede deel van De Cijfferinghe worden de onderwerpen stap voor stap uitgebreid, met steeds meer complexe vraagstukken en uitgebreidere uitleg. Bartjens zorgde ervoor dat de leerling in staat werd gebracht om rekenproblemen in een logische volgorde aan te pakken, van eenvoudig naar ingewikkeld.
In het hoofdstuk Winningh en Verlies bijvoorbeeld worden 69 opgaven verwerkt die gericht zijn op het berekenen van winst of verlies bij handelstransacties. Deze opgaven zijn niet alleen rekenkundig uitdagend, maar ook gericht op het begrijpen van economische verhoudingen en het toepassen van rekenregels in praktische situaties. Bartjens legt uit hoe men met munten, maten en gewichten moet rekenen, en welke rekenstrategieën het meest efficiënt zijn in welke situaties.
Het Oplossen van Gecompliceerde Vraagstukken
Een van de kenmerken van Bartjens' rekenboek is de nadruk op het oplossen van gecompliceerde vraagstukken met meerdere stappen. In het hoofdstuk Cassiers Rekeninghen wordt bijvoorbeeld het berekenen van schulden en wisselingen van geld centraal gesteld. Vraagstuk 7 illustreert dit goed: Een persoon moet 1000 gulden aflossen. Na 2 maanden moet hij 250 gulden betalen, na 3 maanden 200 gulden, en na 4 maanden 550 gulden. Hij biedt aan om het hele bedrag in een keer te betalen. Na hoeveel tijd moet hij dat doen?
De oplossing vereist het berekenen van het gemiddelde over de tijd die het afbetalen normaal zou duren. Bartjens gebruikt hier de regel van drieën om het gemiddelde te bepalen. Deze aanpak illustreert hoe complexe rekenproblemen kunnen worden opgelost door het toepassen van logische rekenstrategieën en het begrijpen van verhoudingen.
De Negentest en Controlemethoden
Bartjens benadrukt ook het belang van het controleren van rekenresultaten. In het hoofdstuk over optellen, aftrekken en vermenigvuldigen gebruikt hij de negentest om de uitkomsten te verifiëren. Deze test is gebaseerd op de eigenschappen van de getallen en helpt om rekenfouten te voorkomen. Bartjens zorgde ervoor dat leerlingen niet alleen leerden rekenen, maar ook leerden controleren of hun antwoorden klopten.
In het hoofdstuk over aftrekken controleert Bartjens het resultaat met de inverse bewerking, namelijk optellen. In het hoofdstuk over vermenigvuldigen zijn er geen expliciete controles, maar de laatste 13 opgaven zijn de inversen van de laatste 13 opgaven in het hoofdstuk over delen. Dit illustreert hoe Bartjens een verband zag tussen vermenigvuldigen en delen, en hoe hij deze verbanden gebruikt om rekenvaardigheid te ontwikkelen.
Het Oplossen van Verhoudingsproblemen
Een van de meest uitdagende aspecten van Bartjens' rekenboek is de nadruk op het oplossen van verhoudingsproblemen. In vraagstuk 42 bijvoorbeeld wordt gevraagd om twee getallen te vinden waarbij ⅔ deel van het ene getal evenveel is als ⅗ deel van het andere. Bartjens lost dit op door de breuken kruiselings te vermenigvuldigen, wat leidt tot 9/10. Hij concludeert dat het ene getal 9 is en het andere 10. Hoewel er veel meer antwoorden mogelijk zijn, wordt dit niet vermeld, wat aangeeft dat Bartjens vooral gericht was op het tonen van een correcte rekenstrategie.
Oefeningen en Herhaling
Een ander belangrijk aspect van Bartjens' rekenboek is de nadruk op oefening en herhaling. Het boek bevat talloze oefeningen, die oplopend in moeilijkheid zijn. In het hoofdstuk Practijke ofte korte Rekening bijvoorbeeld zijn er 225 opgaven, die de leerling uitnodigen om rekenvaardigheid te ontwikkelen in een praktische context. Deze opgaven zijn niet alleen rekenkundig uitdagend, maar ook gericht op het ontwikkelen van probleemoplossend denken en het toepassen van rekenstrategieën in de praktijk.
Conclusie
Bartjens' rekenboek De Cijfferinghe biedt een uniek inzicht in de aanpak van eerstegraadsvergelijkingen in de 18e eeuw. In tegenstelling tot moderne methoden, waar algebra vaak centraal staat, benadrukt Bartjens een puur rekenkundige aanpak. Zijn oplossingsstrategieën zijn gericht op het begrijpen van het probleem en het toepassen van rekenregels, zonder algebraïsche notatie. Door middel van talloze oefeningen, herhaling en didactische verbeteringen zorgde Bartjens ervoor dat zijn leerlingen in staat werden gebracht om complexe rekenproblemen logisch en nauwkeurig op te lossen.
Zijn benadering benadrukt het belang van rekenvaardigheid, logisch denken en het toepassen van rekenstrategieën in de praktijk. In tegenstelling tot moderne algebraïsche methoden is Bartjens' aanpak georiënteerd op het begrijpen van verhoudingen, het omrekenen van munten en het berekenen van winst of verlies. Zijn rekenboek is daarom niet alleen een waardevolle bron voor het begrijpen van historische rekenmethoden, maar ook een inspiratiebron voor moderne rekenonderwijsaanpakken die gericht zijn op het ontwikkelen van rekenvaardigheid en probleemoplossend denken.